cos・sin変換ツール｜三角関数の公式・変換表を一括確認

cos ⇔ sin 変換ツール
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変換公式一覧
三角比の相互関係
関係式 意味 補足
sin²θ + cos²θ = 1 sin と cos の二乗の和は常に1 ピタゴラスの定理から導出
tanθ = sinθ / cosθ tan を sin・cos で表す cosθ ≠ 0 のとき有効
1 + tan²θ = 1 / cos²θ sec の二乗との関係 cosθ ≠ 0 のとき有効
cosθ = √(1 − sin²θ) sin から cos を求める基本式 第1・第4象限では正値
sinθ = √(1 − cos²θ) cos から sin を求める基本式 第1・第2象限では正値
角度変換公式（90°・180° の変換）
変換式 sin 結果 cos 結果 tan 結果
90° − θ = cos θ = sin θ = 1 / tan θ
90° + θ = cos θ = −sin θ = −1 / tan θ
180° − θ = sin θ = −cos θ = −tan θ
180° + θ = −sin θ = −cos θ = tan θ
270° − θ = −cos θ = −sin θ = 1 / tan θ
270° + θ = −cos θ = sin θ = −1 / tan θ
360° − θ（= −θ） = −sin θ = cos θ = −tan θ
特殊角の sin・cos・tan 一覧
角度（°） ラジアン sin θ cos θ tan θ sin²θ + cos²θ
0°00101
15°π/12(√6−√2)/4 ≈ 0.2588(√6+√2)/4 ≈ 0.96592−√3 ≈ 0.26791
30°π/61/2 = 0.5000√3/2 ≈ 0.86601/√3 ≈ 0.57741
45°π/4√2/2 ≈ 0.7071√2/2 ≈ 0.707111
60°π/3√3/2 ≈ 0.86601/2 = 0.5000√3 ≈ 1.73211
75°5π/12(√6+√2)/4 ≈ 0.9659(√6−√2)/4 ≈ 0.25882+√3 ≈ 3.73211
90°π/210未定義1
120°2π/3√3/2 ≈ 0.8660−1/2 = −0.5000−√3 ≈ −1.73211
135°3π/4√2/2 ≈ 0.7071−√2/2 ≈ −0.7071−11
150°5π/61/2 = 0.5000−√3/2 ≈ −0.8660−1/√3 ≈ −0.57741
180°π0−101
210°7π/6−1/2 = −0.5000−√3/2 ≈ −0.86601/√3 ≈ 0.57741
225°5π/4−√2/2 ≈ −0.7071−√2/2 ≈ −0.707111
240°4π/3−√3/2 ≈ −0.8660−1/2 = −0.5000√3 ≈ 1.73211
270°3π/2−10未定義1
300°5π/3−√3/2 ≈ −0.86601/2 = 0.5000−√3 ≈ −1.73211
315°7π/4−√2/2 ≈ −0.7071√2/2 ≈ 0.7071−11
330°11π/6−1/2 = −0.5000√3/2 ≈ 0.8660−1/√3 ≈ −0.57741
360°2π0101
変換手順と計算例
例1：sin θ から cos θ を求める
問題： θ = 30° のとき、cos θ の値を求めよ。
ステップ1： sin 30° = 1/2 であることを確認する。
ステップ2： 相互関係の公式 sin²θ + cos²θ = 1 を使う。
ステップ3： cos²30° = 1 − (1/2)² = 1 − 1/4 = 3/4
ステップ4： cos 30° = √(3/4) = √3/2 ≈ 0.8660（第1象限なので正値）
検証： sin²30° + cos²30° = 1/4 + 3/4 = 1 ✓
例2：角度変換公式の適用
問題： sin 120° を cos を使って表せ。
ステップ1： 120° = 90° + 30° と分解する。
ステップ2： 変換公式 sin(90° + θ) = cos θ を適用。
ステップ3： sin(90° + 30°) = cos 30° = √3/2 ≈ 0.8660
検証： sin 120° ≈ 0.8660 ✓
例3：sin の値から全三角関数を求める
問題： sin θ = 12/13、0° ≤ θ ≤ 90° のとき、cos θ と tan θ を求めよ。
ステップ1： cos²θ = 1 − sin²θ = 1 − (12/13)² = 1 − 144/169 = 25/169
ステップ2： 0° ≤ θ ≤ 90° なので cos θ > 0 → cos θ = 5/13 ≈ 0.3846
ステップ3： tan θ = sin θ / cos θ = (12/13) ÷ (5/13) = 12/5 = 2.4
例4：ラジアンでの変換
問題： θ = π/3 rad のとき、sin と cos の値を求めよ。
ステップ1： π/3 rad = 60° に変換（度 = ラジアン × 180 / π）
ステップ2： sin 60° = √3/2 ≈ 0.8660
ステップ3： cos 60° = 1/2 = 0.5000
ポイント： ラジアンと度の相互変換は 1 rad = 180°/π ≈ 57.2958°
加法定理と応用公式
加法定理
公式名公式主な用途
sin の加法定理（和） sin(α+β) = sinα cosβ + cosα sinβ 2角の和の sin を展開
sin の加法定理（差） sin(α−β) = sinα cosβ − cosα sinβ 2角の差の sin を展開
cos の加法定理（和） cos(α+β) = cosα cosβ − sinα sinβ 2角の和の cos を展開
cos の加法定理（差） cos(α−β) = cosα cosβ + sinα sinβ 2角の差の cos を展開
2倍角（sin） sin 2α = 2 sinα cosα 2α の sin を α で表す
2倍角（cos） cos 2α = cos²α − sin²α = 1 − 2sin²α = 2cos²α − 1 2α の cos を α で表す（3形式）
半角（sin） sin²(α/2) = (1 − cosα) / 2 半角の sin²
半角（cos） cos²(α/2) = (1 + cosα) / 2 半角の cos²
3倍角（sin） sin 3α = 3 sinα − 4 sin³α 3α の sin を α で表す
3倍角（cos） cos 3α = 4 cos³α − 3 cosα 3α の cos を α で表す
三角関数の合成公式
a sinθ + b cosθ = √(a²+b²) · sin(θ + α)
ただし cosα = a / √(a²+b²)、sinα = b / √(a²+b²)

例： sinθ + cosθ = √2 · sin(θ + 45°)
→ a = 1, b = 1 → √(1²+1²) = √2、α = 45°
積和・和積の公式
種別公式
積→和（sincos）sinα cosβ = ½[sin(α+β) + sin(α−β)]
積→和（cossin）cosα sinβ = ½[sin(α+β) − sin(α−β)]
積→和（coscos）cosα cosβ = ½[cos(α+β) + cos(α−β)]
積→和（sinsin）sinα sinβ = −½[cos(α+β) − cos(α−β)]
和→積（sin+）sinα + sinβ = 2 sin((α+β)/2) cos((α−β)/2)
和→積（sin−）sinα − sinβ = 2 cos((α+β)/2) sin((α−β)/2)
和→積（cos+）cosα + cosβ = 2 cos((α+β)/2) cos((α−β)/2)
和→積（cos−）cosα − cosβ = −2 sin((α+β)/2) sin((α−β)/2)
微分・積分の公式
関数微分積分
sin x (sin x)’ = cos x ∫sin x dx = −cos x + C
cos x (cos x)’ = −sin x ∫cos x dx = sin x + C
tan x (tan x)’ = 1 / cos²x ∫tan x dx = −ln|cos x| + C
よく使われる cos ⇔ sin 変換
変換元変換後変換公式利用場面
sin 30° = 0.5cos 60° = 0.5sin θ = cos(90°−θ)余角の関係
cos 30° ≈ 0.8660sin 60° ≈ 0.8660cos θ = sin(90°−θ)余角の関係
sin 45° ≈ 0.7071cos 45° ≈ 0.7071sin θ = cos θ（θ=45°のみ）等角の特殊性
sin 120° ≈ 0.8660cos 30° ≈ 0.8660sin(90°+θ) = cos θ第2象限の変換
cos 120° = −0.5−sin 30° = −0.5cos(90°+θ) = −sin θ第2象限の変換
sin 150° = 0.5sin 30° = 0.5sin(180°−θ) = sin θ補角の関係
cos 150° ≈ −0.8660−cos 30° ≈ −0.8660cos(180°−θ) = −cos θ補角の関係
よくある質問（FAQ）
sin と cos の違いは何ですか？
sin θ（サイン）は直角三角形において「対辺 / 斜辺」の比、cos θ（コサイン）は「隣辺 / 斜辺」の比です。単位円では、cos θ が x 座標、sin θ が y 座標に対応します。両者は90°（π/2 rad）だけ位相がずれた関係にあり、sin θ = cos(90° − θ) が成り立ちます。
sin θ が分かれば cos θ を求められますか？
はい。相互関係の公式 sin²θ + cos²θ = 1 より、cos θ = ±√(1 − sin²θ) で求められます。ただし、θ の象限（角度の範囲）によって符号が異なります。第1・第4象限では cos θ > 0、第2・第3象限では cos θ < 0 となります。
度（°）とラジアン（rad）の変換方法は？
度からラジアン：ラジアン = 度 × π / 180
ラジアンから度：度 = ラジアン × 180 / π
例：90° = 90 × π / 180 = π/2 ≈ 1.5708 rad
例：π rad = π × 180 / π = 180°
プログラミング（JavaScript の Math.sin など）ではラジアンで入力する必要があります。
sin(90° + θ) と cos θ はなぜ等しいのですか？
単位円上で考えると、角 θ の点 P(cos θ, sin θ) を原点を中心に 90° 反時計回りに回転させると、点 Q(−sin θ, cos θ) になります。Q の y 座標が sin(90° + θ) であり、これが cos θ と等しいことが座標幾何学的に証明できます。加法定理 sin(90° + θ) = sin90° cosθ + cos90° sinθ = 1 × cosθ + 0 × sinθ = cosθ でも確認できます。
三角関数の変換公式はどうやって覚えますか？
90°（π/2）の倍数との演算では「sin と cos が入れ替わる（奇数倍のとき）」、「180°（π）の倍数との演算では入れ替わらない（偶数倍のとき）」というルールがあります。符号は元の角度が属する象限で決まります。例：sin(90° + θ)→第2象限で sin は正なので cosθ（正）、cos(90° + θ)→第2象限で cos は負なので −sinθ（負）。この考え方を身につけると丸暗記なしに導けます。
cos の値がマイナスになるのはどんなときですか？
cos θ は単位円の x 座標に相当するため、x 座標が負になる第2象限（90° < θ < 180°）および第3象限（180° < θ < 270°）でマイナスになります。具体的には cos 120° = −0.5、cos 150° ≈ −0.8660 などが代表例です。一方 sin θ は第3・第4象限（180° ～ 360°）でマイナスになります。
プログラムで sin・cos を計算するにはどうすればよいですか？
JavaScript では Math.sin() および Math.cos() を使います。引数はラジアンで渡す必要があります。度数で入力する場合は、まず角度 × Math.PI / 180 でラジアンに変換してから渡してください。例：Math.sin(30 * Math.PI / 180) → 0.5（sin 30° の結果）。Python では math.sin()、math.cos() を同様に使用できます。
sin²θ + cos²θ = 1 はなぜ成り立つのですか？
単位円（半径1の円）上の点 P(x, y) について、三平方の定理より x² + y² = 1 が成り立ちます。cos θ = x/1 = x、sin θ = y/1 = y と定義すれば、これはそのまま sin²θ + cos²θ = 1 となります。この恒等式は三角関数計算の根幹をなし、どんな角度 θ に対しても成立します（ピタゴラスの定理から来ているため「ピタゴラス恒等式」とも呼ばれます）。
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