Área del Pentágono
Calculadora completa de área de pentágonos regulares e irregulares, con fórmulas, conversión de unidades y ejemplos paso a paso.
Calculadora de Área del Pentágono
Introduce la longitud del lado y elige la unidad. La fórmula usa solo el lado del pentágono regular.
Fórmula:
A = (a² / 4) × √(25 + 10√5)
Por favor, introduce un valor positivo válido.
Área del pentágono regular:
Introduce el lado y la apotema del pentágono. La apotema es la distancia del centro al punto medio de un lado.
Fórmula:
A = (Perímetro × Apotema) / 2 = (5 × a × ap) / 2
Por favor, introduce valores positivos válidos.
Área del pentágono (lado + apotema):
Calcula el área usando el radio del círculo circunscrito (R), que une el centro con los vértices del pentágono.
Fórmula:
A = (5R² / 4) × √(5 + 2√5) / √2 → A = (5R² × sin(72°)) / 2
Por favor, introduce un valor positivo válido.
Área del pentágono (radio circunscrito):
Calcula el área de un pentágono irregular introduciendo las coordenadas (x, y) de sus 5 vértices en orden (horario o antihorario). Se aplica la Fórmula de Gauss (Shoelace).
Fórmula de Gauss:
A = |Σ(xᵢ × yᵢ₊₁ − xᵢ₊₁ × yᵢ)| / 2
V1
V2
V3
V4
V5
Por favor, introduce las 10 coordenadas (x e y de cada vértice).
Área del pentágono irregular (Gauss):
Conversión Rápida de Área
→
Introduce un valor numérico válido y unidades distintas.
Resultado de la conversión:
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¿Qué es el Área de un Pentágono?
Un pentágono es un polígono plano de 5 lados, 5 vértices y 5 ángulos internos. Su área es la cantidad de superficie plana que ocupa. Existen dos tipos principales:
- Pentágono regular: todos los lados y ángulos son iguales. Cada ángulo interno mide 108° y la suma total de ángulos es 540°.
- Pentágono irregular: al menos un lado o ángulo difiere de los demás. Requiere dividirlo en triángulos o usar la Fórmula de Gauss.
El pentágono más famoso del mundo es el Edificio del Pentágono en Arlington, Virginia (EE.UU.), cuyo lado mide aproximadamente 280 m y su área construida supera los 600.000 m².
a = lado | ap = apotema | A = área
Fórmulas del Área del Pentágono
Pentágono Regular
1. Solo con el lado (a):
A = (a² / 4) × √(25 + 10√5) ≈ 1.72048 × a²
2. Lado (a) + Apotema (ap):
A = (Perímetro × ap) / 2 = (5 × a × ap) / 2
3. Radio circunscrito (R):
A = (5 × R² × sin(72°)) / 2 ≈ 2.37764 × R²
4. Radio inscrito / apotema (r):
A = 5 × r² × tan(36°) ≈ 3.63271 × r²
Pentágono Irregular — Fórmula de Gauss (Shoelace)
Dados los vértices (x₁,y₁) … (x₅,y₅):
A = |( x₁(y₂−y₅) + x₂(y₃−y₁) + x₃(y₄−y₂) + x₄(y₅−y₃) + x₅(y₁−y₄) )| / 2
O también como suma acumulada: A = |Σᵢ(xᵢ·yᵢ₊₁ − xᵢ₊₁·yᵢ)| / 2
Relación entre lado, apotema y radio
| Parámetro | Fórmula | Ejemplo (a = 5 m) |
|---|---|---|
| Apotema (ap) | ap = a / (2 × tan(36°)) | ap ≈ 3.441 m |
| Radio circunscrito (R) | R = a / (2 × sin(36°)) | R ≈ 4.253 m |
| Perímetro (P) | P = 5 × a | P = 25 m |
| Diagonal (d) | d = a × φ (φ = razón áurea ≈ 1.618) | d ≈ 8.090 m |
Ejemplo Paso a Paso
Ejemplo 1: Área de un pentágono regular de lado 5 m
1
Identificamos el dato: lado a = 5 m.
2
Aplicamos la fórmula: A = (a² / 4) × √(25 + 10√5)
3
Calculamos dentro de la raíz: 25 + 10√5 = 25 + 10 × 2.2361 = 47.361
4
Raíz cuadrada: √47.361 ≈ 6.882
5
Completamos: A = (25 / 4) × 6.882 = 6.25 × 6.882 ≈ 43.01 m²
Ejemplo 2: Usando lado y apotema (a = 6 m, ap = 4.13 m)
1
Dato: a = 6 m, ap = 4.13 m.
2
Calculamos el perímetro: P = 5 × 6 = 30 m.
3
Aplicamos: A = (P × ap) / 2 = (30 × 4.13) / 2 = 123.9 / 2 = 61.95 m².
Ejemplo 3: Pentágono irregular con vértices (0,0), (4,0), (5,3), (2,5), (−1,3)
1
Listamos las coordenadas: (0,0), (4,0), (5,3), (2,5), (−1,3).
2
Aplicamos Gauss: Σ(xᵢ·yᵢ₊₁) = 0×0 + 4×3 + 5×5 + 2×3 + (−1)×0 = 0+12+25+6+0 = 43
3
Σ(yᵢ·xᵢ₊₁) = 0×4 + 0×5 + 3×2 + 5×(−1) + 3×0 = 0+0+6−5+0 = 1
4
A = |43 − 1| / 2 = 42 / 2 = 21 u²
Tabla de Áreas para Lados Comunes
Áreas de pentágonos regulares para distintos valores de lado (usando A ≈ 1.72048 × a²):
| Lado (a) | Apotema (ap) | Perímetro | Área (m²) | Área (cm²) |
|---|---|---|---|---|
| 1 m | 0.688 m | 5 m | 1.7205 m² | 17,205 cm² |
| 2 m | 1.376 m | 10 m | 6.882 m² | 68,820 cm² |
| 3 m | 2.064 m | 15 m | 15.484 m² | 154,843 cm² |
| 4 m | 2.753 m | 20 m | 27.528 m² | 275,276 cm² |
| 5 m | 3.441 m | 25 m | 43.012 m² | 430,119 cm² |
| 6 m | 4.129 m | 30 m | 61.937 m² | 619,371 cm² |
| 8 m | 5.506 m | 40 m | 110.111 m² | 1,101,107 cm² |
| 10 m | 6.882 m | 50 m | 172.048 m² | 1,720,477 cm² |
| 15 m | 10.323 m | 75 m | 387.107 m² | 3,871,075 cm² |
| 20 m | 13.764 m | 100 m | 688.191 m² | 6,881,910 cm² |
| 100 m | 68.819 m | 500 m | 17,204.77 m² | 172,047,700 cm² |
| 280 m (Pentágono EE.UU.) | 192.694 m | 1,400 m | 134,997.3 m² | — |
Tabla de Conversión de Unidades de Área
| Unidad | Símbolo | = en m² | = en cm² | Nota |
|---|---|---|---|---|
| Milímetro cuadrado | mm² | 0.000001 | 0.01 | Sistema métrico |
| Centímetro cuadrado | cm² | 0.0001 | 1 | Sistema métrico |
| Decímetro cuadrado | dm² | 0.01 | 100 | Sistema métrico |
| Metro cuadrado | m² | 1 | 10,000 | Unidad SI base |
| Decámetro cuadrado | dam² | 100 | 1,000,000 | Sistema métrico |
| Hectómetro cuadrado | hm² | 10,000 | 100,000,000 | = 1 ha |
| Kilómetro cuadrado | km² | 1,000,000 | 10¹⁰ | Sistema métrico |
| Centiárea | ca | 1 | 10,000 | Agrario = 1 m² |
| Área | a | 100 | 1,000,000 | Agrario = 1 dam² |
| Hectárea | ha | 10,000 | 100,000,000 | Agrario = 1 hm² |
| Pulgada cuadrada | in² | 0.00064516 | 6.4516 | Imperial |
| Pie cuadrado | ft² | 0.09290304 | 929.0304 | Imperial |
| Yarda cuadrada | yd² | 0.83612736 | 8,361.27 | Imperial |
| Milla cuadrada | mi² | 2,589,988.11 | — | Imperial |
| Acre | ac | 4,046.856 | — | Imperial/agrario |
Regla rápida: al pasar al siguiente múltiplo del sistema métrico se multiplica o divide por 100 (no por 10, ya que las unidades son cuadradas).
Propiedades del Pentágono Regular
| Propiedad | Valor / Fórmula |
|---|---|
| Número de lados | 5 |
| Número de vértices | 5 |
| Número de diagonales | 5 |
| Ángulo interno | 108° |
| Ángulo externo | 72° |
| Suma de ángulos internos | 540° |
| Suma de ángulos externos | 360° |
| Apotema en función del lado | ap = a / (2 × tan(36°)) ≈ 0.6882 × a |
| Radio circunscrito (R) | R = a / (2 × sin(36°)) ≈ 0.8507 × a |
| Diagonal | d = φ × a ≈ 1.6180 × a (razón áurea) |
| Factor de área (k) | A = k × a², donde k ≈ 1.72048 |
| Simetría | 5 ejes de simetría |
Aplicaciones Reales del Área del Pentágono
Arquitectura
Planos pentagonales
Edificios y estructuras con planta pentagonal como el Pentágono de EE.UU. (cada lado: 280 m, área: ~134,999 m²)
Ingeniería civil
Cálculo de parcelas
Terrenos o lotes con forma irregular que se aproximan a pentágonos en catastro
Diseño gráfico
Logotipos y mosaicos
El pentágono aparece en estrellas de cinco puntas y diseños ornamentales
Matemáticas
Número áureo φ
La diagonal de un pentágono regular está relacionada con la razón áurea φ ≈ 1.618
Fútbol
Paneles del balón
El clásico balón de fútbol tiene 12 pentágonos y 20 hexágonos (dodecaedro truncado)
Naturaleza
Flores y cristales
Simetría pentagonal en flores, erizos de mar y cuasicristales de aluminio-manganeso
Preguntas Frecuentes (FAQ)
¿Cuál es la fórmula más sencilla para calcular el área de un pentágono regular?
La fórmula más directa es A = (5 × a × ap) / 2, donde a es la longitud del lado y ap la apotema. Si solo conoces el lado, usa A ≈ 1.72048 × a².
¿Cómo se calcula la apotema si solo conozco el lado?
La apotema se calcula con ap = a / (2 × tan(36°)) ≈ 0.6882 × a. Por ejemplo, si el lado es 10 m, la apotema es aproximadamente 6.882 m.
¿Cómo se calcula el área de un pentágono irregular?
El método más preciso es la Fórmula de Gauss (Shoelace): dado que conoces las coordenadas de los 5 vértices, calculas A = |Σ(xᵢ·yᵢ₊₁ − xᵢ₊₁·yᵢ)| / 2. Alternativamente, puedes dividirlo en triángulos y sumar sus áreas.
¿Cuánto vale el ángulo interno de un pentágono regular?
Cada ángulo interno de un pentágono regular mide 108°. La suma de todos los ángulos internos es 540°, calculado como (5−2) × 180°.
¿Cuál es la diferencia entre apotema y radio en un pentágono?
La apotema es la distancia del centro al punto medio de un lado (radio inscrito), mientras que el radio circunscrito (R) es la distancia del centro a un vértice. En un pentágono regular con lado a: ap ≈ 0.6882a y R ≈ 0.8507a.
¿El pentágono puede formar un teselado regular?
Los pentágonos regulares no pueden teselar el plano por sí solos, ya que 360° / 108° ≈ 3.33, que no es un número entero. Sin embargo, ciertos pentágonos irregulares sí pueden teselar el plano.
¿Por qué la diagonal del pentágono está relacionada con la razón áurea?
En un pentágono regular, la razón entre la diagonal y el lado es exactamente φ = (1 + √5) / 2 ≈ 1.618, conocida como la razón o número áureo. Esta propiedad lo vincula con la serie de Fibonacci y patrones naturales.
¿Cómo convertir el resultado de m² a cm² o hectáreas?
Multiplica los m² por 10,000 para obtener cm², o divide entre 10,000 para obtener hectáreas. Usa la calculadora de conversión de unidades incluida en esta página para conversiones inmediatas entre todas las unidades estándar.
Otras Figuras Geométricas: Áreas Relacionadas
| Figura | Fórmula del Área | Nota |
|---|---|---|
| Triángulo equilátero | A = (√3 / 4) × a² | 3 lados iguales |
| Cuadrado | A = a² | 4 lados iguales |
| Pentágono regular | A ≈ 1.72048 × a² | 5 lados iguales |
| Hexágono regular | A = (3√3 / 2) × a² ≈ 2.598 × a² | 6 lados iguales |
| Heptágono regular | A ≈ 3.634 × a² | 7 lados iguales |
| Octágono regular | A ≈ 4.828 × a² | 8 lados iguales |
| Círculo | A = π × r² | Lados → ∞ |
A medida que aumenta el número de lados, el factor multiplicativo del área crece y la figura se aproxima al círculo.