Calculadora de Ángulo entre Dos Vectores
Vector A
Vector B
Historial de Cálculos
Ejemplos Rápidos
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Vectores Perpendiculares
A = (1, 0)
B = (0, 1)
Ángulo: 90°
Vectores Paralelos
A = (1, 1)
B = (2, 2)
Ángulo: 0°
Vectores Opuestos
A = (1, 0)
B = (-1, 0)
Ángulo: 180°
Ejemplo General 2D
A = (3, 4)
B = (1, 2)
Ángulo: ≈26.57°
Ejes Perpendiculares 3D
A = (1, 0, 0)
B = (0, 1, 0)
Ángulo: 90°
Vectores Paralelos 3D
A = (1, 1, 1)
B = (2, 2, 2)
Ángulo: 0°
Fórmula del Ángulo entre Vectores
Fórmula General:
cos(θ) = (A · B) / (|A| × |B|)
θ = arccos((A · B) / (|A| × |B|))
Vectores 2D
Si A = (x₁, y₁) y B = (x₂, y₂):
Producto Escalar: A · B = x₁x₂ + y₁y₂
Magnitud de A: |A| = √(x₁² + y₁²)
Magnitud de B: |B| = √(x₂² + y₂²)
Ángulo: θ = arccos((x₁x₂ + y₁y₂) / (√(x₁² + y₁²) × √(x₂² + y₂²)))
Vectores 3D
Si A = (x₁, y₁, z₁) y B = (x₂, y₂, z₂):
Producto Escalar: A · B = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂
Magnitud de A: |A| = √(x₁² + y₁² + z₁²)
Magnitud de B: |B| = √(x₂² + y₂² + z₂²)
Ángulo: θ = arccos((x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂) / (√(x₁² + y₁² + z₁²) × √(x₂² + y₂² + z₂²)))
Ejemplo Paso a Paso
Problema: Calcular el ángulo entre A = (3, 4) y B = (1, 2)
Paso 1: Calcular el producto escalar
A · B = (3)(1) + (4)(2) = 3 + 8 = 11
Paso 2: Calcular la magnitud del vector A
|A| = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5
Paso 3: Calcular la magnitud del vector B
|B| = √(1² + 2²) = √(1 + 4) = √5 ≈ 2.236
Paso 4: Aplicar la fórmula del ángulo
cos(θ) = 11 / (5 × 2.236) = 11 / 11.180 ≈ 0.9839
Paso 5: Calcular el arcoseno
θ = arccos(0.9839) ≈ 0.1798 radianes ≈ 10.30°
Casos Especiales de Ángulos
| Ángulo | Grados | Radianes | Relación entre Vectores | cos(θ) |
|---|---|---|---|---|
| 0° | 0° | 0 | Vectores paralelos (misma dirección) | 1 |
| 45° | 45° | π/4 ≈ 0.785 | Ángulo de 45 grados | √2/2 ≈ 0.707 |
| 60° | 60° | π/3 ≈ 1.047 | Ángulo de 60 grados | 0.5 |
| 90° | 90° | π/2 ≈ 1.571 | Vectores perpendiculares (ortogonales) | 0 |
| 120° | 120° | 2π/3 ≈ 2.094 | Ángulo obtuso | -0.5 |
| 180° | 180° | π ≈ 3.142 | Vectores opuestos (dirección contraria) | -1 |
Propiedades del Producto Escalar
1. Conmutatividad: A · B = B · A
2. Distributividad: A · (B + C) = A · B + A · C
3. Asociatividad con escalares: (kA) · B = k(A · B) = A · (kB)
4. Producto de un vector consigo mismo: A · A = |A|²
5. Vectores perpendiculares: Si A · B = 0, entonces A ⊥ B
Aplicaciones Prácticas
Física
Calcular el trabajo realizado por una fuerza: W = F · d = |F||d|cos(θ), donde θ es el ángulo entre la fuerza y el desplazamiento.
Geometría
Determinar si dos líneas son perpendiculares, paralelas u oblicuas analizando el ángulo entre sus vectores directores.
Informática Gráfica
Calcular iluminación en renderizado 3D usando el ángulo entre el vector normal de una superficie y el vector de luz.
Aprendizaje Automático
Medir la similitud entre vectores de características usando la similitud del coseno.
Preguntas Frecuentes
¿Qué es el ángulo entre dos vectores?
El ángulo entre dos vectores es la medida de la separación angular cuando ambos vectores se colocan con el mismo punto de origen. Se mide en grados (0° a 180°) o radianes (0 a π).
¿Por qué el ángulo entre vectores siempre está entre 0° y 180°?
Por definición, el ángulo entre vectores se toma como el menor ángulo positivo entre ellos. Como el arcoseno del coseno devuelve valores en el rango [0, π], el resultado siempre está entre 0° y 180°.
¿Qué significa cuando el producto escalar es cero?
Cuando A · B = 0, significa que los vectores son perpendiculares (ortogonales). El ángulo entre ellos es exactamente 90° o π/2 radianes.
¿Cómo sé si dos vectores son paralelos?
Dos vectores son paralelos si el ángulo entre ellos es 0° (misma dirección) o 180° (direcciones opuestas). Esto ocurre cuando uno es un múltiplo escalar del otro.
¿Se puede calcular el ángulo si uno de los vectores es cero?
No. El vector cero (0, 0) o (0, 0, 0) no tiene dirección definida, por lo que no se puede calcular un ángulo con él. La fórmula daría una división por cero.
¿Cuál es la diferencia entre 2D y 3D?
Los vectores 2D tienen dos componentes (x, y) y existen en un plano. Los vectores 3D tienen tres componentes (x, y, z) y existen en el espacio tridimensional. La fórmula es la misma, solo se añade la componente z en 3D.
¿Cómo convierto de radianes a grados?
Para convertir radianes a grados, multiplica por 180/π. Por ejemplo: 1 radián = 180/π ≈ 57.296 grados. Para convertir grados a radianes, multiplica por π/180.
¿Qué es la similitud del coseno?
La similitud del coseno es el valor de cos(θ), que varía de -1 a 1. Valores cercanos a 1 indican vectores muy similares (ángulo pequeño), mientras que valores cercanos a -1 indican vectores opuestos.
Referencias
1. Stewart, J. (2015). Cálculo de varias variables. Cengage Learning. Capítulo 12: Vectores y geometría del espacio.
2. Larson, R., & Edwards, B. (2016). Cálculo 2 de varias variables. Cengage Learning. Sección sobre producto escalar y ángulos entre vectores.
3. Anton, H., Bivens, I., & Davis, S. (2012). Cálculo (10ª ed.). Wiley. Capítulo sobre vectores en el espacio bidimensional y tridimensional.
4. Strang, G. (2016). Introduction to Linear Algebra (5th ed.). Wellesley-Cambridge Press. Sección 1.2: Longitudes y productos punto.
5. OpenStax. (2022). Cálculo Volumen 3. Rice University. Disponible en: https://openstax.org/books/calculo-volumen-3/ – Sección 2.3: El producto escalar.